Передача параметров из одного API в другой в react-native

Вам необходимо обрабатывать данные ответа из функций then. Обратите внимание, как ответ на каждый запрос передается в следующий then, где его можно легко использовать.

componentWillMount() {
  axios
    .post('https://APISITE/api/Auth/AuthorizeByApplication?applicationId='app id'&applicationSecret='app secret'&token='app token'')
    .then((authData) => {
      console.log(authData.data);
      return axios.get('https://APISITE//api/Stock/GetStockItems', {
        params: {
          keyWord: 5055967419551,
          locationId: '',
          entriesPerPage: 100000,
          pageNumber: 1,
          excludeComposites: true,
        },
        headers: {
          Authorization: '0f32ae0d-c4e0-4aca-8367-0af88213d668'
        }
      })
    })
    .then((stockItems) => {
      this.setState({ products: stockItems.data })
      return axios.get('https://APISITE//api/Stock/GetStockLevel', {
        params: {
          stockItemId: stockItems.data.stockItemId,
        },
        headers: {
          Authorization: '0f32ae0d-c4e0-4aca-8367-0af88213d668'
        }
      })
    })
    .then((stockLevel) =>
      this.setState({ racks: stockLevel.data })
    )
}

(Этот код не проверен!)

Во-первых, никогда не используйте метод componentWillMount жизненного цикла компонента для установки состояния компонента или вызова любого запроса API для этих целей используйте componentDidMount для более подробного ознакомления с тем, какой жизненный цикл используется для какой цели, читайте этой статьи и во-вторых, просто добавьте второй запрос API в ответ на первый запрос API с другим именем ответа имя, как указано ниже:

componentDidMount() {
    axios.post('https://APISITE/api/Auth/AuthorizeByApplication?
        applicationId='app id'&applicationSecret='app secret'&token='app token'')
    .then((responseFirst) => { 
        axios.get('https://APISITE//api/Stock/GetStockItems', { 
            params: {
                keyWord: 5055967419551,
                locationId: '',
                entriesPerPage: 100000,
                pageNumber: 1,
                excludeComposites: true,
            },
            headers: { 
                Authorization: '0f32ae0d-c4e0-4aca-8367-0af88213d668' 
            }
        }).then((responseSecond) => this.setState({ products: responseSecond.data }));

            axios.get('https://APISITE//api/Stock/GetStockLevel', {  
                params: { 
                    stockItemId: responseFirst.data.stockItemId,
                },
                headers: { 
                    Authorization: '0f32ae0d-c4e0-4aca-8367-0af88213d668'
                }       
            }).then((responseThird) => this.setState({ racks: responseThird.data }));
    });
}

если вы используете redux, прочтите документацию по redux для обработки действий асинхронного типа и как справиться с этим.