Линейная алгебра — это фундаментальный раздел математики, который занимается векторными пространствами, матрицами и их операциями. Его приложения обширны и могут быть найдены в различных областях, таких как физика, информатика, экономика и инженерия. В этой статье мы исследуем важность линейной алгебры и введем основные понятия и терминологию.

1. Обзор и приложения

Линейная алгебра обеспечивает мощную основу для понимания и решения проблем, связанных с линейными отношениями. Это позволяет нам анализировать и манипулировать объектами, такими как векторы и матрицы, которые являются основными строительными блоками во многих математических моделях и сценариях реального мира. Некоторые из ключевых приложений линейной алгебры включают:

  • Компьютерная графика. Линейная алгебра необходима для преобразования изображений и управления ими, рендеринга 3D-графики и имитации реалистичной анимации.
  • Машинное обучение. Линейная алгебра играет жизненно важную роль в алгоритмах машинного обучения, где данные часто представляются в виде векторов или матриц и используются такие операции, как умножение матриц и собственное разложение.
  • Физика. Линейная алгебра широко используется в физике для описания и решения задач, связанных с физическими величинами, такими как силы, скорости и электрические поля.
  • Экономика. Линейная алгебра применяется в экономических моделях для анализа систем линейных уравнений, описывающих отношения спроса и предложения, производственные процессы и рыночное равновесие.
  • Инженерное дело. Линейная алгебра используется в различных инженерных дисциплинах, включая системы управления, обработку сигналов и анализ электрических цепей.

2. Основные понятия и терминология

Чтобы углубиться в линейную алгебру, важно понимать некоторые основные понятия и терминологию. Введем несколько ключевых терминов:

Векторы

Вектор – это величина, которая имеет как величину, так и направление. Обычно его представляют в виде столбца или строки чисел, заключенных в квадратные скобки. Например, трехмерный вектор можно представить как:

Матрицы

Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел или символов, расположенных в строках и столбцах. Его можно рассматривать как набор векторов. Матрицы обозначаются заглавными буквами. Например, матрица A может быть представлена ​​как:

Скаляры

Скаляры являются одиночными числами и не имеют направления. Это могут быть действительные числа или элементы из других систем счисления.

3. Обозначения и представление векторов и матриц.

В линейной алгебре для описания векторов и матриц используются различные обозначения и представления. Вот несколько часто используемых обозначений:

  • Жирные строчные буквы (например, v) используются для представления векторов.
  • Жирные прописные буквы (например, A) обозначают матрицы.
  • Элементы векторов или матриц представлены нижними индексами. Например, на изображении ниже i​ представляет i-й элемент вектора v, а ij​ представляет элемент в i-й строке и j-м столбце матрицы A.

Эти обозначения и представления обеспечивают краткий и стандартизированный способ работы с векторами и матрицами, упрощая выражение математических отношений и выполнение операций над ними.

В следующей статье мы углубимся в векторы и их операции, что заложит основу для дальнейшего понимания концепций линейной алгебры. Ждите следующей статьи из этой серии!

Если вы нашли этот курс полезным и хотели бы изучить больше бесплатных курсов, я приглашаю вас подписаться на мою учетную запись на Medium и связаться со мной в LinkedIn. Я регулярно делюсь ценным контентом на этих платформах.